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（西暦）2026（年）も（令和）8（年）も、平方数と素数に隣接する数

概要
2026と8が平方数と素数に隣接していることの説明。また、2026年（令和8年）の素数な日付の一覧も掲載。

はじめに

もうすぐ 2026年 だ。2026年は 令和8年 で、平成で言うと38年、昭和で言うと101年に相当する。

2026は偶数で、明らかに素数ではない。実際、2026 = 2 × 1013 という合成数である。ただし、1013が素数なので、2026は半素数になる。

平方数と素数に隣接する数

さて、唐突だが、2026の前後を見てみよう。1つ前の2025は平方数だ ($2025 = 45^2$)。一方、1つ後の2027は素数だ。つまり、2026は、平方数と素数に隣接する数だ。一方で令和の8の前後を見てみると、1つ前の7が素数で、1つ後の9が $3^2$ という形の平方数になっている。こちらもやはり、平方数と素数に隣接する数になっている。

beprisque という言い方

Bezuszka (1982:74) によると、2026や8のように前後が平方数と素数になっている整数のことを beprisque numbers と呼ぶことがあるそうだ。彼の説明によると、“between prime and square”（素数と平方数の間）を縮め、語感を整えるために最後に e を付けたものらしい。私の勝手な訳語だが、あえて日本語にするなら、「素平間数」とでもなるだろうか。

要するに、$n-1$ が平方数で $n+1$ が素数であるときの整数 $n$、あるいは $n-1$ が素数で $n+1$ が平方数であるときの整数 $n$ が beprisque である。つまり、$n$ が beprisque であるとき、$(n-1)^2 + 2$ あるいは $(n+1)^2 – 2$ が素数になる。言い換えれば、$k^2 \pm 2$ が素数になるような場合、そのすぐ隣に beprisque な数があるということだ。

無数に存在するか？

ところで、平方数と素数に隣接する数、すなわちbeprisque な数は無数に存在するのだろうか。もし $k^2 \pm 2$ という形の素数が無限に存在するなら、当然答えはイエスになる。しかし、ちょっと調べた感じだと、$k^2 \pm 2$ となる素数が無数にあるかどうかは証明も反証もされていないようだ。

ブニャコフスキー予想というものがある。整数係数で次数が1以上の多項式 $f(x)$ について、以下の条件を満たす場合、$f(n)$ を満たす素数は無数に存在するというものである (European Mathematical Society, n.d.)。

  1. $f$ の係数が互いに素で、
  2. $f$ が既約多項式であり、
  3. $f$の最大次数の項の係数が正で、
  4. 正の整数 $n = 1, 2, 3, \dots$ に対して $f(n)$ をすべて割り切る素数がない

もしこの予想が正しいとすれば、$k^2 \pm 2$ となる形の素数は無数に存在し、その結果として beprisque な数もまた無数に存在することになる。

付：素数な日付

おまけとして、2026年（令和8年）の素数な日付のリストを挙げたいと思う。素数な日付とは何かと言うと、年月日をまとめて1つの数字にしたときに、素数になるような日付のことだ。例えば、2026年06月21日をまとめて 20260621 という1つの数字にする。20260621が素数なので、この日は素数な日付だというわけだ。

西暦

西暦の年月日をまとめて1つの数字にしたときに素数となる日付は、2026年（令和8年）には24個 存在する。

  • 2026年01月17日 → 20260117 → 素数
  • 2026年02月11日 → 20260211 → 素数
  • 2026年03月01日 → 20260301 → 素数
  • 2026年03月19日 → 20260319 → 素数
  • 2026年05月11日 → 20260511 → 素数
  • 2026年05月23日 → 20260523 → 素数
  • 2026年05月29日 → 20260529 → 素数
  • 2026年06月09日 → 20260609 → 素数
  • 2026年06月21日 → 20260621 → 素数
  • 2026年06月27日 → 20260627 → 素数
  • 2026年07月03日 → 20260703 → 素数
  • 2026年07月29日 → 20260729 → 素数
  • 2026年08月13日 → 20260813 → 素数
  • 2026年08月29日 → 20260829 → 素数
  • 2026年09月09日 → 20260909 → 素数
  • 2026年09月13日 → 20260913 → 素数
  • 2026年09月21日 → 20260921 → 素数
  • 2026年10月09日 → 20261009 → 素数
  • 2026年10月23日 → 20261023 → 素数
  • 2026年11月07日 → 20261107 → 素数
  • 2026年11月13日 → 20261113 → 素数
  • 2026年11月19日 → 20261119 → 素数
  • 2026年11月23日 → 20261123 → 素数
  • 2026年12月31日 → 20261231 → 素数

和暦

和暦（令和）の年月日をまとめて1つの数字にしたときに素数となる日付は、2026年（令和8年）には38個 存在する。

  • 令和8年01月07日 → 80107 → 素数
  • 令和8年01月11日 → 80111 → 素数
  • 令和8年02月07日 → 80207 → 素数
  • 令和8年02月09日 → 80209 → 素数
  • 令和8年02月21日 → 80221 → 素数
  • 令和8年03月09日 → 80309 → 素数
  • 令和8年03月17日 → 80317 → 素数
  • 令和8年03月29日 → 80329 → 素数
  • 令和8年04月07日 → 80407 → 素数
  • 令和8年04月29日 → 80429 → 素数
  • 令和8年05月13日 → 80513 → 素数
  • 令和8年05月27日 → 80527 → 素数
  • 令和8年06月03日 → 80603 → 素数
  • 令和8年06月11日 → 80611 → 素数
  • 令和8年06月21日 → 80621 → 素数
  • 令和8年06月27日 → 80627 → 素数
  • 令和8年06月29日 → 80629 → 素数
  • 令和8年07月01日 → 80701 → 素数
  • 令和8年07月13日 → 80713 → 素数
  • 令和8年08月03日 → 80803 → 素数
  • 令和8年08月09日 → 80809 → 素数
  • 令和8年08月19日 → 80819 → 素数
  • 令和8年08月31日 → 80831 → 素数
  • 令和8年09月09日 → 80909 → 素数
  • 令和8年09月11日 → 80911 → 素数
  • 令和8年09月17日 → 80917 → 素数
  • 令和8年09月23日 → 80923 → 素数
  • 令和8年09月29日 → 80929 → 素数
  • 令和8年10月01日 → 81001 → 素数
  • 令和8年10月13日 → 81013 → 素数
  • 令和8年10月17日 → 81017 → 素数
  • 令和8年10月19日 → 81019 → 素数
  • 令和8年10月23日 → 81023 → 素数
  • 令和8年10月31日 → 81031 → 素数
  • 令和8年11月01日 → 81101 → 素数
  • 令和8年11月19日 → 81119 → 素数
  • 令和8年12月03日 → 81203 → 素数
  • 令和8年12月23日 → 81223 → 素数

なお、西暦でも和暦でも素数になるのは、06月21日 (20260621, 80621)、06月27日 (20260627, 80627)、09月09日 (20260909, 80909)、10月23日 (20261023, 81023)、11月19日 (20261119, 81119)の5回である。

2026年はもうすぐだ。
2026年はもうすぐだ（ChatGPT Image により作成）。

参考文献

注釈