はじめに
谷山–志村予想で知られる谷山豊という数学者がいた。彼は、1958年に31歳という若さで自殺した。
生前、谷山は東京大学教養学部で数学を教えていた。その際、谷山が東大で出題した数学の期末試験の問題を発見したので、ここに記しておきたいと思う。谷山の著作権保護期間はすでに切れているので、転載しても問題ないだろう。
出典は以下の通り。
- 折戸博充・片岡敏郎．(2010). 「次世代に伝えたい。――谷山組のこと」『赤門学友会報懐徳』17, p.9．
上記出典に、谷山が作った手書きの期末試験問題が影印されていたので、それをそのまま写してある。出典にはいつ出された問題か明確に書かれていないのだが、おそらく1957年か1958年に東大の教養学部の1年生か2年生に出した期末試験問題であると思われる。
試験科目は「解析」であり、試験時間は2時間が設定されている。問題は合わせて4問である。また、答案用紙は3枚、計算用紙は2枚。
問題本文
- $\displaystyle\int \frac{dx}{x^{2}\sqrt{1+x^{2}}}$ ヲ求メヨ
- $\sqrt[5]{1+x}$ ノ展開式ヲ用イテ $\sqrt[5]{100}$ ヲ小数第4位マデ正確ニ計算セヨ （ヒント：適当ナ有理数 $a$ ニヨリ $100 = a^{5}+b = a^{5} (1+\frac{b}{a^{5}})$ トスル）
- 0’ 近傍デ収斂スル級数 $f(x) = \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} a_{n}x^{n}$ ガ，微分方程式 $$x \frac{d^{2}f(x)}{dx^{2}} + (1-m) \frac{df(x)}{dx} – f(x) = 0$$ ヲ滿ストキ，コノ級数ノ係数ヲ定メ，マタ収斂半径ヲ求メヨ．タダシ $f(0)=1$ トシ，マタ $m$ ハ負ノ整数
- $(x, y, z)$ ヲ三次元空間ノ直交座標トスル．$C$ ヲ空間曲線トシ，$C$ ノ，$x, y$–平面ヘノ正射影ヲ $C_{1}$ トスル．マタ $C$ ノ点 $P, Q$ ノ，$x, y$-平面ヘノ正射影ヲ $P_{1}, Q_{1}$ ト書ク．$C$ ノ各点ニオケル接線ガ $x, y$–平面ニ平行デモ垂直デモナイトスル．マタ，$C$ ノ各点 $P$ ニオケル主法線ノ，$x, y$–平面ヘノ正射影ガ常ニ，平面曲線 $C_{1}$ ノ $P_{1}$ ニオケル法線ニナツテイルトスレバ，点 $P$ カラ $Q$ マデノ $C$ ノ長サト，$P_{1}$ カラ $Q_{1}$ マデノ $C_{1}$ ノ長サトノ比ガ，$P, Q$ ニヨラズ一定デアルコト，マタ $P$ ニオケル $C$ ノ曲率ト $P_{1}$ ニオケル $C_{1}$ ノ曲率トノ比ガ $P$ ニヨラズ一定デアルコトヲ証明セヨ．