2021 は合成数
もうすぐ2020年が終わり、2021年となる。ところで、2021は素数だろうか？ 素数ではない。2021 = 43 × 47 なので、2021は合成数である。
オイラーの素数生成多項式
ところで、2021 = 43 × 47 という等式に出てくる3つの整数はいずれも $n^{2} – n + 41$（nは正の整数）という形で表すことができる。
- $43 = 2^{2} – 2 + 41$
- $47 = 3^{2} – 3 + 41$
- $2021 = 45^{2} – 45 + 41$
この $n^{2} – n + 41$ は数多くの素数を生む式として知られ、オイラーの素数生成多項式と呼ばれることがある。オイラーとは、18世紀に活躍した数学者のレオンハルト・オイラー (Leonhard Euler) のことだ。
実際、 $n = 1, 2, \dots, 40$ において、$n^{2} – n + 41$はすべて素数になる。
- $n = 1$ のとき、$n^{2} – n + 41 = 41$ で素数。
- $n = 2$ のとき、$n^{2} – n + 41 = 43$ で素数。
- $n = 3$ のとき、$n^{2} – n + 41 = 47$ で素数。
- $n = 4$ のとき、$n^{2} – n + 41 = 53$ で素数。
- $n = 5$ のとき、$n^{2} – n + 41 = 61$ で素数。
- $n = 6$ のとき、$n^{2} – n + 41 = 71$ で素数。
- （中略）
- $n = 39$ のとき、$n^{2} – n + 41 = 1523$ で素数。
- $n = 40$ のとき、$n^{2} – n + 41 = 1601$ で素数。
$n = 41$ のときは、それぞれ $n^{2} – n + 41 = 1681 = 41^{2}$ と合成数になるから、$n^{2} – n + 41$ が常に素数となるわけではない。
ただ、$n = 43, 44, 46, 47$ のときなども $n^{2} – n + 41$ は素数になる。1から500までの500個の整数を考えると、$n^{2} – n + 41$ が素数になるのはなんと326個もある。その意味で、$n^{2} – n + 41$ は数多くの素数を生む式なのだ。
n を引くか足すか
ところで、オイラーの素数生成多項式として $n^{2} – n + 41$ ではなく、$n^{2} + n + 41$ を挙げる場合がある。 n を足すか引くかが違うのである。
$n^{2} – n + 41$ も $n^{2} + n + 41$ も言っていることは本質的に同じである。なぜなら次のような式変形ができるからである。
\begin{eqnarray} && n^{2} + n + 41 \\ &=& n^{2} + 2n + 1 – n – 1 + 41 \\ &=& (n+1)^{2} – (n + 1) + 41 \end{eqnarray}オイラーはn を引く方の式
オイラーは n を引く方の式で考えていたようだ。オイラーは次のように述べ、$n = 1, 2, \dots, 40$ において $n^{2} – n + 41$ がすべて素数になると指摘している。
Cette progression 41. 43. 47. 53. 61. 71. 83. 97. 113. 131 &c. dont le terme général est $41 − x + xx$, est d’autant plus remarquable que les 40 premiers termes sont tous des nombres premiers.
（訳：一般項が $41 − x + xx$ となる、この 41, 43, 47, 53, 61, 71, 83, 97, 113, 131……という数列は、最初の40個の項がすべて素数になるという点で、さらに注目すべきものである。）
上の文章は、元々は1771年にオイラーがベルヌーイに手紙に載っていたものだ。そして、その手紙の内容が1774年に出版された1772年のベルリン・アカデミーの紀要に転載された。上記の引用元は1774年に出版された1772年のベルリン・アカデミーの紀要の方である。
要するに、オイラーは1771年までに $n^{2} – n + 41$ の形の素数生成式に気付いており、それが公刊されたのが1774年であるということだ。このような感じで少しややこしいことになっているためか、文献によっては混乱も見られる。例えば、Mollin (1997) では、“$x^{2} – x + 41$, discovered by Euler in 1772”（1772年にオイラーによって発見された$x^{2} – x + 41$）という文言がある。オイラーは1771年までに気付いているわけだから、この記述は厳密に言うと適切ではない。また、Szekeres (1974) では “Euler noted in 1772 that the quadratic polynomial $x^{2} + x + 41$…” （オイラーは、二次多項式 $x^{2} + x + 41$が……であることを1772年に言及した）と書いてある。オイラーが挙げている式は $x^{2} + x + 41$ ではなくて、$x^{2} – x + 41$ だから、ここは、二重に適切ではないことになる。
n を足す方の式はルジャンドル
n を引くのではなくて、n を足す方の式で考えたのは、どうやらルジャンドルらしい。ルジャンドルはフランス革命暦の共和国6年*に出した書籍において、以下のように $n^{2} + n + 41$ の形の式を挙げている。
Donc si on fait successivement $\alpha = 0, 1, 2, 3\dots$ jusqu’à 39, toutes le valeurs qui en résulteront pour $\alpha^{2} + \alpha +41$, doivent être des nombres premiers.
（訳：ゆえに、順々に$\alpha = 0, 1, 2, 3\dots$ から39までにしていけば、$\alpha^{2} + \alpha +41$ に対して出てくるすべての値が素数になる。）
フランス革命暦の共和国6年は、西暦1797年9月22日から1798年9月11日に相当する。このためか、ルジャンドルのこの文献を引くときに1797年のものとしているものと1798年のものとしているものが混在している。なお、このブログでは、便宜上 Legendre (1797–1798) として引用した。
参考文献
- Euler, L. (1774). Extrait d’un lettre de M. Euler le pere à M. Bernoulli concernant le Mémoire imprimé parmi ceux de 1771. Nouveaux Mémoires de l’Académie Royale des Sciences de Berlin, 1772, 35–36. https://scholarlycommons.pacific.edu/euler-works/461/
- Legendre, A. M. (1797–1798). Essai sur la théorie des nombres, 1e édition. Paris : Duprat. https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/btv1b8626880r
- Mollin, R. (1997). Prime-producing quadratics. The American Mathematical Monthly, 104(6), 529–544. doi:10.2307/2975080
- Szekeres, G. (1974). On the number of divisors of $x^{2} + x + A$. Journal of Number Theory, 6(6), 434–442. doi:10.1016/0022-314x(74)90041-9
付：素数な日付
西暦
西暦の年月日をまとめて1つの数字にしたときに素数となる日付は、2021年（令和3年）には21個存在する。
- 2021年01月01日 → 20210101 → 素数
- 2021年01月07日 → 20210107 → 素数
- 2021年01月31日 → 20210131 → 素数
- 2021年03月17日 → 20210317 → 素数
- 2021年04月01日 → 20210401 → 素数
- 2021年05月03日 → 20210503 → 素数
- 2021年05月13日 → 20210513 → 素数
- 2021年06月09日 → 20210609 → 素数
- 2021年07月17日 → 20210717 → 素数
- 2021年08月03日 → 20210803 → 素数
- 2021年08月31日 → 20210831 → 素数
- 2021年09月23日 → 20210923 → 素数
- 2021年09月29日 → 20210929 → 素数
- 2021年10月01日 → 20211001 → 素数
- 2021年10月07日 → 20211007 → 素数
- 2021年10月31日 → 20211031 → 素数
- 2021年11月09日 → 20211109 → 素数
- 2021年11月27日 → 20211127 → 素数
- 2021年12月03日 → 20211203 → 素数
- 2021年12月09日 → 20211209 → 素数
- 2021年12月21日 → 20211221 → 素数
なお、2020年の最終日である12月31日を考えると、20201231は素数になる。よって、20201231と20210101とで年をまたいだ連続素数日になる。
和暦
和暦の年月日をまとめて1つの数字にしたときに素数となる日付は、2021年（令和3年）には32個存在する。
- 令和3年01月03日 → 30103 → 素数
- 令和3年01月09日 → 30109 → 素数
- 令和3年01月13日 → 30113 → 素数
- 令和3年01月19日 → 30119 → 素数
- 令和3年02月03日 → 30203 → 素数
- 令和3年02月11日 → 30211 → 素数
- 令和3年02月23日 → 30223 → 素数
- 令和3年03月07日 → 30307 → 素数
- 令和3年03月13日 → 30313 → 素数
- 令和3年03月19日 → 30319 → 素数
- 令和3年03月23日 → 30323 → 素数
- 令和3年04月03日 → 30403 → 素数
- 令和3年04月27日 → 30427 → 素数
- 令和3年05月09日 → 30509 → 素数
- 令和3年05月17日 → 30517 → 素数
- 令和3年05月29日 → 30529 → 素数
- 令和3年07月03日 → 30703 → 素数
- 令和3年07月07日 → 30707 → 素数
- 令和3年07月13日 → 30713 → 素数
- 令和3年07月27日 → 30727 → 素数
- 令和3年08月03日 → 30803 → 素数
- 令和3年08月09日 → 30809 → 素数
- 令和3年08月17日 → 30817 → 素数
- 令和3年08月29日 → 30829 → 素数
- 令和3年09月11日 → 30911 → 素数
- 令和3年10月13日 → 31013 → 素数
- 令和3年10月19日 → 31019 → 素数
- 令和3年11月21日 → 31121 → 素数
- 令和3年11月23日 → 31123 → 素数
- 令和3年12月19日 → 31219 → 素数
- 令和3年12月23日 → 31223 → 素数
- 令和3年12月31日 → 31231 → 素数
なお、西暦でも和暦でも素数になるのは、08月03日 (20210803, 30803) の1回のみである。