2016にまつわる問題
入学試験の算数や数学の問題の中で、その試験が行われる年にちなんだ問題が出されることがある。例えば、2015年に実施された東京大学の二次試験の前期日程の数学（理科）の第5問では、「mを2015以下の正の整数とする。2015Cmが偶数となる最小のmを求めよ。」 [1] という問題が出されている。
2016年ならば、2016という数がキーワードとなる問題が出されることがありうる。例えば、高校入試では、2016年にちなんで「7の2016乗（72016）の一の位の数字は何か」といった問題 [2] が出ることもあるだろう。
そういう背景も踏まえ、以下では、2016の性質や2016にちなんだ問題について書かれているウェブ上の記事を紹介したい。算数・数学の入学試験の問題を解くときに参考になるかもしれない。
- 来年の入試算数は「2016」に注目…竹内洋人｜読売新聞（YOMIURI ONLINE）
- 中学入試を念頭においた解説。この解説にあるように、2016は割と約数が多い数なので、そのことに注目することが重要であろう。
- 入試に出る？西暦2016年（平成28年）は数学的に奇跡の年！！！｜受験の月
- 2016だけでなく、平成28年にちなんで、28についても性質が述べられている。
- （西暦）2016（年）も（平成）28（年）も三角数かつ六角数
- 手前味噌で恐縮だが、本ブログにも上記のような記事がある。1 + 2 + 3 + … + 62 + 63 = 2016 となるという話に基づいた問題はありそうだ。
- 数学2016年問題｜Togetterまとめ
- 2016にまつわる様々な問題の例が載っている。
- 2016になる数式まとめ｜Togetterまとめ
- 計算結果が2016になる美しい数式が多数載っている。もっとも、こうした内容は入試ではあまり出ないだろう。
脚注
- 平成27年度第2次学力試験試験問題 | 東京大学より引用。 [↩]
- この問題の答えは、1である。7の2016乗そのものを手で計算するのは現実的ではないので、何かしら工夫をする必要がある。とりあえず、2016乗という大きい数を見るより先に、小さな数のときにどうなるかを見てみよう。まず、7の2乗は49である。この49に7をかけることで7の3乗を求めることができる。49×7=343であることから、7の3乗は343である。ここで、一の位だけに着目すると、必ずしも全て計算しなくてもOKであることがわかる。つまり、49の一の位である9に7をかけると63になり、その一の位は343の一の位と同じ3になる。これは偶然だろうか？ そうではない。十の位より上がどんな数であっても、7をかけたところで一の位の数には影響しないのだ。逆に言うと、7をかける場合、かけられる数の一の位だけが、積の一の位に影響するのである。7の2乗の場合は一の位が9、3乗の場合は3である。3×7=21であることから、7の4乗の一の位は1になることが分かる。さらに、1×7=7なので、7の5乗の一の位は7になる。その次は、7×7=49で、7の6乗の一の位は9になる。9×7=63なので、7の7乗の一の位は3になる。ここまでやれば、7をかけるごとに、一の位が9→3→1→7→9→3→1→7→……と、9, 3, 1, 7の繰り返しになっていることが分かるだろう。これを一般化すると、7のn乗に対し、nを4で割って、2余るときは一の位が9になり、3余るときは一の位が3になり、ちょうど割り切れるときは一の位が1になり、1余るときは一の位が7になることが分かる。2016は4で割り切れるから、一の位は1になる。 [↩]