累積和をとってつくった数列
初項が $p+d$ で、公差が $d$ である等差数列 $\{a_{n}\}$ を考える。このとき、$a_{n} = p + dn$ である。
よって、初項から第 $n$ 項までの累積和は、以下のように計算できる。
\begin{eqnarray} \sum_{i=1}^n (p + id) &=& np + d \sum_{i=1}^n i \\ &=& np + d \cdot \frac{1}{2}n(n+1) \\ &=& \frac{d}{2} n^{2} + \Bigl(p + \frac{d}{2}\Bigr)n \end{eqnarray}この累積和をとってつくった数列を $\{S_{n}\}$ とする。すなわち、この数列の一般項は以下のように表される。
\[ S_{n} = \frac{d}{2} n^{2} + \Bigl(p + \frac{d}{2}\Bigr)n \]平均の導出
数列 $\{S_{n}\}$ の初項から第 $n$ 項までの平均は以下のようにして求められる。
\begin{eqnarray} \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n S_{i} &=& \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n \biggl( \frac{d}{2} i^{2} + \Bigl(p + \frac{d}{2}\Bigr)i \biggr) \\ &=& \frac{1}{n} \biggl( \frac{d}{2} \sum_{i=1}^n i^{2} + \Bigl(p + \frac{d}{2}\Bigr) \sum_{i=1}^n i \biggr) \\ &=& \frac{1}{n} \biggl( \frac{d}{2} \cdot \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + \Bigl(p + \frac{d}{2}\Bigr) \cdot \frac{n(n+1)}{2} \biggr) \\ &=& \frac{d}{2} \cdot \frac{(n+1)(2n+1)}{6} + \Bigl(p + \frac{d}{2}\Bigr) \cdot \frac{n+1}{2}\\ &=& \frac{d}{12} (n+1)(2n+1) + \frac{1}{4}(2p + d)(n+1) \\ &=& (n+1)\biggl(\frac{d}{12} (2n+1) + \frac{1}{4}(2p + d)\biggr) \\ &=& \frac{1}{12}(n+1) \bigl( d(2n+1) + 3(2p + d) \bigr) \\ &=& \frac{1}{12}(n+1)(2dn + 4d + 6p) \\ &=& \frac{1}{6}(n+1)(dn + 2d + 3p) \\ \end{eqnarray}よって、数列 $\{S_{n}\}$ の初項から第 $n$ 項までの平均は $\frac{1}{6}(n+1)(dn + 2d + 3p)$ となる。
例
初項が $6$ で、公差が $5$ である等差数列 $\{a_{n}\}$ を考える。このとき、$p=1, d=5$ なので、$a_{n} = 1 + 5n$ である。
このとき、$\{a_{n}\}$ の累積和をとってつくった数列を $\{S_{n}\} $とする。すると、最初の7つの項は以下のようになる。
\begin{eqnarray} (a_{n}) &=& 6, 11, 16, 21, 26, 31, 36 \dots \\ (S_{n}) &=& 6, 17, 33, 54, 80, 111, 147 \dots \end{eqnarray}ここで、$(S_{n})$の初項から第7項までの平均 ($\frac{1}{7} \sum_{i=1}^7 S_{i}$) を求めよう。$p=1, d=5, n=7$ を先ほど導出した式に代入する。
\begin{eqnarray} \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n S_{i} &=& \frac{1}{6}(n+1)(dn + 2d + 3p) \\ &=& \frac{1}{6}(7+1)(5 \cdot 7 + 2 \cdot 5 + 3 \cdot 1) \\ &=& 64 \end{eqnarray}すなわち、$(S_{n})$の初項から第7項までの平均は 64 になる。
今度は、先ほど導出した式を使わずに、初項から第7項までの平均を求めてみよう。$(S_{n}) = 6, 17, 33, 54, 80, 111, 147 \dots$ であったから、第7項までの合計 $(6 + 17 + 33 + 54 + 80 + 111 + 147) = 448$ を 7 で割れば平均が出てくる。448を7で割ると64なので、先ほど導出した式を使った場合と同じ結果になる。